NO.001 - 程序员.数制及转换

　
一、基本概念

　　01. 编码

　　采用少量的基本符号，选用一定的组合原则，以表示大量复杂多样的信息。
　　基本符号的种类和这些符号的组合规则是一切信息编码的两大要素。
　
　　02. 进位记数制

　　如果只用 r 个基本符号表示数值，则称为 r 进制（radix-r number system）；r 称为该数制的基数（radix）。

　　　　特点

　　　　每一种数制都有固定的符号集；
　　　　每一种数制都是用位置表示法（即处于不同位置的数符所代表的值不同，与它所在位置的权值有关）。

　　03. 权

　　各种进位记数制中的权值就是基数的某次幂。

　　对任何一种进位记数制表示的数都可以写成按权展开的多项式之和。

　　04. 进位数制公式

　　　　N_r =

二、相关图表

　　01. 计算机常用进位数制的表示

进位制	二进制	八进制	十进制	十六进制
规则	逢二进一	逢八进一	逢十进一	逢十六进一
基数	r=2	r=8	r=10	r=16
数符	0,1	0,1,2,3,4,5,6,7	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
权	2i	8i	10i	16i
表示符	B	O	D	H

　　二进制数中的一个 0 或 1 称为 1 比特（bit）。

　　02. 二进制与八进制的对应关系

二进制	八进制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

　　03. 二进制与十六进制的对应关系

二进制	十六进制	二进制	十六进制
0000	0	1000	8
0001	1	1001	9
0010	2	1010	A
0011	3	1011	B
0100	4	1100	C
0101	5	1101	D
0110	6	1110	E
0111	7	1111	F

三、数制转换

　　01. 二进制数 → 十进制数

　　将二进制数的每一位数乘以它的权，然后将所得的全部值相加。

　　　　(100110.101)₂
　　　= 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3
　　　= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125
　　　= (38.625)₁₀

　　02. 十进制数 → 二进制数

　　　　a. 整数部分，除 2 取余；小数部分，乘 2 取整；然后合并。

　　　　(37403.2134)₁₀
　　　=> 整数部分推导
　　　=> 37403/2 = 18701 余 1 ↑
　　　=> 18701/2 = 9350 余 1 ↑
　　　=> 9350/2 = 4675 余 0 ↑
　　　=> 4675/2 = 2337 余 1 ↑
　　　=> 2337/2 = 1168 余 1 ↑
　　　=> 1168/2 = 584 余 0 ↑
　　　=> 584/2 = 292 余 0 ↑
　　　=> 292/2 = 146 余 0 ↑
　　　=> 146/2 = 73 余 0 ↑
　　　=> 73/2 = 36 余 1 ↑
　　　=> 36/2 = 18 余 0 ↑
　　　=> 18/2 = 9 余 0 ↑
　　　=> 9/2 = 4 余 1 ↑
　　　=> 4/2 = 2 余 0 ↑
　　　=> 2/2 = 1 余 0 ↑
　　　=> 1/2 = 0 余 1 ↑（最终商为 0 时，逆序开始合并）
　　　=> 1001001000011011
　　　=> 小数部分推导
　　　=> 0.2134*2 = 0.4268 整 0 ↓（顺序开始合并）
　　　=> 0.4268*2 = 0.8536 整 0 ↓
　　　=> 0.8536*2 = 1.7072 整 1 ↓
　　　=> 0.7072*2 = 1.4144 整 1 ↓
　　　=> 0.4144*2 = 0.8288 整 0 ↓
　　　=> 0.8288*2 = 1.6576 整 1 ↓
　　　=> 0.6576*2 = 1.3152 整 1 ↓
　　　=> 0.3152*2 = 0.6304 整 0 ↓（需要提前设定转换精度）
　　　......
　　　=> 0.00110110...
　　　=> 合并
　　　=> (1001001000011011.0011011)₂

　　　　b. 把一个十进制数写成按二进制数权的大小展开的多项式，并按权值从高到低一次取各项的系数。

　　　　(37403.2134)₁₀
　　　=

　　03. 二进制数 → 八进制数

　　从小数点起，把二进制数每 3 位分成一组，然后写出每一组的等值八进制数，顺序排列起来就得到所要求的八进制数。

　　　　(100101001001011101.11010100101)₂
　　　= 100,101,001,001,011,101.110,101,001,100
　　　= 4 ,5 ,1 ,1 ,3 ,5 .6 ,5 ,1 ,4
　　　= (451135.6514)₈

　　04. 八进制数 → 二进制数

　　将 1 位八进制数用 3 位二进制数表示。

　　　　(6254172.117002)₈
　　　= 110,010,101,100,001,111,010.001,001,111,000,000,010
　　　= (110010101100001111010.00100111100000001)₂

　　05. 十进制数 → 八进制数

　　整数部分，除 8 取余；小数部分，乘 8 取整；然后合并。

　　　　(38947164.183593)₁₀
　　　=> 整数部分推导
　　　=> 38947164/8 = 4868395 余 4 ↑
　　　=> 4868395/8 = 608549 余 3 ↑
　　　=> 608549/8 = 76068 余 5 ↑
　　　=> 76068/8 = 9508 余 4 ↑
　　　=> 9508/8 = 1188 余 4 ↑
　　　=> 1188/8 = 148 余 4 ↑
　　　=> 148/8 = 18 余 4 ↑
　　　=> 18/8 = 2 余 2 ↑
　　　=> 2/8 = 0 余 2 ↑（最终商为 0 时，逆序开始合并）
　　　=> 224444534
　　　=> 小数部分推导
　　　=> 0.183593*8 = 1.468744 整 1 ↓（顺序开始合并）
　　　=> 0.468744*8 = 3.749952 整 3 ↓
　　　=> 0.749952*8 = 5.999616 整 5 ↓
　　　=> 0.999616*8 = 7.996928 整 7 ↓
　　　=> 0.996928*8 = 7.975424 整 7 ↓
　　　=> 0.975424*8 = 7.803392 整 7 ↓
　　　=> 0.803392*8 = 6.427136 整 6 ↓
　　　=> 0.427136*8 = 3.417088 整 3 ↓（需要提前设定转换精度）
　　　......
　　　=> 0.13577763...
　　　=> 合并
　　　=> (224444534.13577763)₈

　　06. 八进制数 → 十进制数

　　将八进制数的每一位数乘以它的权，然后将所得的全部值相加。

　　　　(674261.173)₈
　　　= 6*8⁵ + 7*8⁴ + 4*8³ + 2*8² + 6*8¹ + 1*8⁰ + 1*8^-1 + 7*8^-2 + 3*8^-3
　　　= 196608 + 28672 + 2048 + 128 + 48 + 1 + 0.125 + 0.109375 + 0.005859375
　　　= (227505.240234375)₁₀

　　07. 十进制数 → 十六进制数

　　整数部分，除 16 取余；小数部分，乘 16 取整；然后合并。

　　　　(92476318.16298)₁₀
　　　=> 整数部分推导
　　　=> 92476318/16 = 5779769 余 14 => E ↑
　　　=> 5779769/16 = 361235 余 9 => 9 ↑
　　　=> 361235/16 = 22577 余 3 => 3 ↑
　　　=> 22577/16 = 1411 余 1 => 1 ↑
　　　=> 1411/16 = 88 余 3 => 3 ↑
　　　=> 88/16 = 5 余 8 => 8 ↑
　　　=> 5/16 = 0 余 5 => 5 ↑（最终商为 0 时，逆序开始合并）
　　　=> 583139E
　　　=> 小数部分推导
　　　=> 0.16298*16 = 2.60768 整 2 => 2 ↓（顺序开始合并）
　　　=> 0.60768*16 = 9.72288 整 9 => 9 ↓
　　　=> 0.72288*16 = 11.56608 整 11 => B ↓
　　　=> 0.56608*16 = 9.05728 整 9 => 9 ↓
　　　=> 0.05728*16 = 0.91648 整 0 => 0 ↓（需要提前设定转换精度）
　　　......
　　　=> 0.29B90...
　　　=> 合并
　　　=> (583139E.29B9)₁₆

　　08. 十六进制数 → 十进制数

　　将十六进制数的每一位数乘以它的权，然后将所得的全部值相加。

　　　　(4DA561B.FE13A)₁₆
　　　= 4*16⁶ + D*16⁵ + A*16⁴ + 5*16³ + 6*16² + 1*16¹ + B*16⁰ + F*16^-1 + E*16^-2 + 1*16^-3 + 3*16^-4 + A*16^-5
　　　= 4*16⁶ + 13*16⁵ + 10*16⁴ + 5*16³ + 6*16² + 1*16¹ + 11*16⁰ + 15*16^-1 + 14*16^-2 + 1*16^-3 + 3*16^-4 + 10*16^-5
　　　= 67108864 + 13631488 + 655360 + 20480 + 1536 + 16 + 11 + 0.9375 + 0.0546875 + 0.000244140625 + 0.0000457763671875+0.0000095367431640625
　　　= 81417755 + 0.9924869537353515625
　　　= (81417755.9924869537353515625)₁₀

　　09. 二进制数 → 十六进制数

　　从小数点开始，每 4 位二进制数为一组，将每一组用相应的十六进制数符来表示。

　　　　(1101010111000111110.110101011011001101)₂
　　　= 0110,1010,1110,0011,1110.1101,0101,1011,0011,0100
　　　= 6 ,A ,E ,3 ,E .D ,5 ,B ,3 ,4
　　　= (6AE3E.D5B34)₁₆

　　10. 十六进制数 → 二进制数

　　将 1 位十六进制数用 4 位二进制数表示。

　　　　(AEF34B.2CD9)₁₆
　　　= 1010,1110,1111,0011,0100,1011.0010,1100,1101,1001
　　　= (101011101111001101001011.0010110011011001)₂

　　11. 八进制数 → 十六进制数

　　八进制数 → 二进制数 → 十六进制数

　　将 1 位八进制数用 3 位二进制数表示；从小数点开始，每 4 位二进制数为一组，将每一组用相应的十六进制数符来表示。

　　　　(7126534.1762354)₈
　　　= 111,001,010,110,101,011,100.001,111,110,010,011,101,100
　　　= (111001010110101011100.0011111100100111011)₂
　　　= 0001,1100,1010,1101,0101,1100.0011,1111,0010,0111,0110
　　　= 1 ,C ,A ,D ,5 ,C .3 ,F ,2 ,7 ,6
　　　= (1CAD5C.3F276)₁₆

　　12. 十六进制数 → 八进制数

　　十六进制数 → 二进制数 → 八进制数

　　将 1 位十六进制数用 4 位二进制数表示；从小数点开始，每 3 位二进制数为一组，将每一组用相应的八进制数符来表示。

　　　　(A013F2.C9DB)₁₆
　　　= 1010,0000,0001,0011,1111,0010.1100,1001,1101,1011
　　　= (101000000001001111110010.1100100111011011)₂
　　　= 101,000,000,001,001,111,110,010.110,010,011,101,101,100
　　　= 5 ,0 ,0 ,1 ,1 ,7 ,6 ,2 .6 ,2 ,3 ,5 ,5 ,4
　　　= (50011762.623554)₈

四、规律总结

　　01. 非十进制数 → 十进制数

　　将 r 进制数的每一位数乘以它的权 rⁱ，然后将所得的全部值相加。

　　02. 十进制数 → 非十进制数

　　整数部分（除 r 取余）和小数（乘 r 取整）部分分别转换，然后再合并。